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2009年中考数学试题分类解析(五)——三角形的认识与证明[原创]

发布时间: 2011-03-05 19:08:14   作者:叶茂恒   发表者: 叶茂恒     浏览次数:(2033)   评论次数:(9)    
2009年中考数学试题分类解析(五)
——三角形的认识与证明
浙江省教研室许芬英
温州第十七中学叶茂恒
 
三角形的认识与证明这一内容是初中阶段“空间与图形”中最为核心、最为重要内容。三角形不仅是最基本的平面图形,而且也是研究其它图形的工具和基础。2009年的全国各地中考试题中,三角形的认识与证明仍占有重要地位,各地在注重考查三角形的基本知识与基本技能的同时,又突出动手操作能力和创新意识的考查,在问题的设计上由封闭变为开放,同时突出数学思想方法,注重考查基本数学活动经验,三角形的证明形式化单一为多样,既考查学生的演绎推理能力,同时也关注学生的合情推理能力。本文将与读者共同赏析2009年三角形的认识与证明这一模块的中考试题,以期更好地迎接2010年中考复习。
一、考试内容与考查要求
(一)三角形
1.了解三角形有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线),会画任意三角形的角平分线、中线、高.
2.了解三角形的稳定性.
3.探索并掌握三角形中位线的性质.
(二)全等三角形
了解全等三角形的概念,探索并掌握两个三角形全等的条件.
(三)等腰三角形
1.了解等腰三角形的有关概念,探索并掌握等腰三角形的性质,探索并掌握一个三角形是等腰三角形的条件.
2.了解等边三角形的概念,探索等边三角形的性质.
(四)直角三角形
1.了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质,探索并掌握一个三角形是直角三角形的条件.
2.体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单问题,会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
(五)三角形的证明
1.掌握以下基本事实,作为证明的依据:①若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边,或三边)分别相等,则这两个三角形全等;②全等三角形的对应边、对应角分别相等.
2.利用1中的基本事实证明下列命题:①三角形的内角和定理及推论(三角形的外角等于不相邻的两内角的和,三角形的外角大 于任何一个和它不相邻的内角);②直角三角形全等的判定定理;③三角形中位线定理;④等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理.
二、2009年中考数学试题中本专题所考查的知识情况分析
综观2009年中考数学试题,三角形基础内容每卷都占有一定的比例,主要考查三角形的基本性质,全等三角形的判定与性质,特殊三角形的性质及其相关的推理证明等等。现选部分09中考试卷具体统计如下表:
表2
卷别
题号
题型
分值所占总
分比例/%
三角形的认识与证明考点
相关的其他考点
北京卷
15
 
19
解答题
 
解答题
8.4
直角三角形两锐角互余;三角形全等判定与性质
等腰直角三角形性质;勾股定理;三角形的中位线性质
等(同)角的余角相等
 
梯形的性质
上海卷
23
解答题
8
三角形全等判定与性质;
等腰三角形判定
 
天津卷
23
25(1)(2)
解答题
12.47
勾股定理
一元二次方程根的求解
重庆卷
10
24
选择题
解答题
9.33
等腰直角三角形性质
三角形全等判定与性质;勾股定理
四边形面积
梯形的性质
河北卷
17
24
填空题
解答题
10.83
等边三角形性质
三角形全等判定;三角形中位线性质;等腰直角三角形判定
轴对称变换
正方形性质;平行四边形判定与性质
河南卷
17
解答题
7.5
全等三角形性质与判定;等腰三角形性质
 
山东卷
16
填空题
8.33
直角三角形性质;三角形全等判定与性质
正方形的性质;旋转变换
江苏卷
7
26(1)
选择题
解答题
5.33
全等三角形的判定
等腰三角形判定
 
轴对称变换
安徽卷
13
填空题
3.33
勾股定理
三角函数
吉林卷
8
19
填空题
解答题
5.87
三角形外角性质,等边三角形判定
直角三角形全等判定;等腰三角形性质
 
山西卷
25(1)
解答题
3.33
三角形全等性质与判定
 
江西卷
3
7
选择题
选择题
5
三角形外角性质
全等三角形的判定
平行线的性质
 
广东卷
14
20
解答题
解答题
12.5
等腰三角形性质与判定
全等三角形的性质与判定
 
四边形面积
陕西卷
9
16
选择题
填空题
5
等腰三角形的性质
勾股定理
旋转变换
轴对称变换
浙江·杭州卷
20
22
解答题
解答题
15
直角三角形
全等三角形判定与性质
 
等腰梯形的性质
浙江·温州
9
21(3)
选择题
解答题
5.33
等腰三角形性质;直角三角形性质
全等三角形的判定
 
湖北·武汉卷
19
解答题
5
全等三角形判定
平行线性质
福建·福州卷
18
解答题
6.67
全等三角形性质与判定
 
湖南·长沙卷
6
10
选择题
填空题
5
等腰三角形性质;勾股定理
三角形三边关系
 
黑龙江·哈尔滨卷
22
25
27(1)
解答题
解答题
解答题
11.7
全等三角形性质与判定
等腰三角形判定;勾股定理
全等三角形性质与判定
圆的基本性质
 
平行线的性质
注:上表的三角形相关内容的统计选题的标准为本题中主要考查内容为三角形的内容,对于综合类问题其中虽有涉及三角形推理与计算,但在统计时都未入选。
由表2可以看出,统计样本容量为20。从考查题量上看,以本专题为主要考查知识点试题共34题,平均1.7题,其中哈尔滨卷考到量最多为3题,其他各省市1至2题;从题型上看,三种题型都有一定量出现,其中选择题7题,填空题6题,解答题21题,可知解答题形式考查明显超过前两者题型;从分值所占总分比例来看,平均每卷分值占总分比例为7.75%,略低于11个专题每卷平均所占分值约1.3个百分点,其主要原因是综合题中所涉及内容未统计,显然这个比例已是不低,其中杭州卷、天津卷、广东卷都超过12%,安徽卷与山西卷较低,都只有3.33%;从考查知识点上看,其中与“全等三角形”相关的试题共有16题,与“直角三角形”相关的试题有13题,与“等腰(边)三角形”相关的试题有13题,其它如“三边关系,内外角,中位线”等内容相关的试题共5题。由此可知,本专题的考查的重点依然是落在三角形的全等与直角三角形(主要为勾股定理),等腰三角形三大块,另外这34题中仍有18题与其它考点共存,这与这一部分内容的基础性是离不开的,三角形的内容与其它内容相结合考查的情况较为普遍。
三、亮点扫描
与近几年各地的中考试卷相比,2009年各地中考数学试卷中对三角形的认识与证明的考查总体上保持在平稳中谋求创新的态势,大部分试题以基本知识与技能为主要考查点,兼顾数学思想方法与基本活动经验,适当开放创新,其中好题纷呈。
(一)利用常见作图工具构造熟悉情景,考查三角形基知识

1
1 (福建·洛江卷)副三角板,如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是      .

简答:75°.
【评析】此题通过学生身边事物常用学习工具——三角板的拼接来构造问题,背景公平,设计简洁巧妙,意在考查考生的学生数学基本活动经验以及学生对三角形内角和(或外角)的性质的掌握情况,学生通过观察两三角板重组后的生成的新三角形中,寻找到与角相关的并含有特殊角的基本图形,而这个基本图形并非唯一,在拓宽问题解决的入口点同时,准确考核了三角形相关角的性质应用

图2
例2浙江·绍兴卷如图,小量角器的零度线在大量角器的零度线上,且小量角器的中心在大量角器的外缘边上.如果它们外缘边上的公共点在小量角器上对应的度数为,那么在大量角器上对应的度数为__________(只需写出的角度).

简答:连结点P与两量角器的中心点可得到一个等腰三角形,根据等腰三角形的性质可知本题答案为50°.
【评析】此题以两个量角器构造问题,从问题表形来看,是两圆相交的问题,而从问题的解决的方法上,本题的核心考查点为等腰三角形中三角的度数关系,问题的解决关键在于学生能否从构图中发现以半径为腰的等腰三角形。另填空题往往能对简础技能的掌握情况得以有效考查,此类问题设计为填空题较为合理,无需小题大做。
(二)利用几何命题构建开放性问题,考查三角形全等判定方法

A
C
E
B
D
图3
3 (湖南·怀化卷)如图,已知,要使 ,可补充的条件是           (写出一个即可).

简答:(或填 或).

4
【评析】此题主要考查三角形全等的条件,条件开放填空也是近几年中考中常见的命题方式,这种设计能很好的考查学生对三角形全等的条件掌握情况,与部分试题不同的是已知给出的条件并不是直接可利用的条件,其中角的条件还需要进一步的推导,使得问题解决含有一定的思维量,提高了试题的效度。从09的中考题来看,个别试卷中这类题出现了只要学生写出一对对应角或边等量关系就是正确条件的现象,这样一来,试题考查的效度就较低。

4 (浙江·丽水卷)知命题:如图,点ADBE在同一条直线上,且AD=BE,∠A=FDE,则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题,如果是真命题,请给出证明;如果是假命题,请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.
简答:是假命题.添加的条件可以是以下三种的任一种:①AC=DF ②∠CBA=∠E③∠C=∠F.
【评析】此题通过判断命题的真假,考查学生对全等三角形的条件认识的完备性,当学生完成判断之后,紧随而来的是一个条件开放问题,对全等三角形的条件认识更高一层,总体问题不难,但有梯度,试题设计主线明朗,从“判断命题”到“修正命题”,再到“论证命题”,一气呵成,且问题有收有放,能有效考查学生三角形全等的条件的掌握水平,另外三个条件选任一个后的证明方法基本上类似,也使得试题具有较好的信度。
(三)依托数学文化背景品味数学美,考查学生重要性质应用能力
例5 (贵州·安顺卷)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的。在RtABC中,若直角边AC6BC5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图乙所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是______________.

5
 

 
 
 
 
 

6-1
【评析】本题简洁自然,问题借助将经典数学图形“赵爽弦图”改造成“数学风车”这一变化过程,渗透数学文化于数学中考题之中,同时也给学生一种数学美的享受,数学的计算问题不再是一个冰冷的过程,中考数学问题也不只是冷峻的考查,其中还有美的感染,还有文化的品味于其中.且问题的设计不只为图形美而设,而是通过勾股定理的计算应用,感受数学的内在美.

例6 (四川·宜宾卷)已知:如图6-1,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则图中阴影部分的面积为___________.
简答:4.5

6-2
【评析】本题考查点还是在勾股定理,其图形熟悉,问题亲切,大部分的学生对勾股定理的认识是来源于图6-2中的勾股图,图6-1所含的等腰直角三角形是图6-2中的正方形的四分之一,图6-2中所含的三个正方形的面积关系,在图6-1中三个等腰直角三角形中依然成立。事实上,若将图6-2中的正方形换以直角三角形三边为直径的半圆结论也仍然成立。本题中正是这种隐含的数学形式的和谐美让学生倍感亲切。

 
(四)利用特殊三角形构造基本图形,考查学生基本识图能力
例7广西·贺州卷)图中是一副三角板,45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°三角板Rt△ABC斜边AB的中点处,A=30oE= 45o∠EDF=∠ACB=90 o DEAC于点GGMABM
1)如图①,当DF经过点C   时,作CNABN,求证:AM=DN

M
E
F
C
B
N
D
A
G
45°
30°
7
 
45°
30°
B
E
F
C
N
D
M
A
G
H
 
2)如图②,当DFAC时,DFBCH,作HNABN,(1)的结论仍然成立,请你说明理由.

 
 
 
 
 
 
 
简答:(1)由已知可得△BCD是等边三角形,结合等腰三角形的三线合一可得  ,进一步可得∠ADG=30°,又∠A=30°,可得,即可得AM=DN.
(2)由已知可得:△ADG≌△DBH,进一步得到AG=DH,从而可证△AMG≌△DNH,即可得AM=DN

O
A
B
8
【评析】本题仍是通过两个三角板特殊位置的摆放,构造出学生熟悉的特殊三角形,如等腰(或等边)三角形、含30°的直角三角形等等,意在考核学生的识图能力和应用三角形相关知识的推理论证能力.在问题(1)中利用这些特殊三角形探索出线段之间的关系,从而得证;问题(2)要从这些特殊三角形中发现全等三角形,利用全等三角形的性质谋求线段相等.此题利用学生常用的画图工具,将线段相等的常见证法融于其中,问题涉及特殊三角形与全等三角形常用的性质与判定,全面考查学生三角形的知识与能力,且问题难度适中.

(五)利用现实背景创生活问题,考查学生实际应用能力
例8(黑龙江·齐齐哈尔卷)如图,为估计池塘岸边的距离,小方在池塘的一侧选取一点,测得米,=10间的距离不可能是(    
A20    B15    C10    D5
简答:由三角形两边之和大于第三边可知选D.
【评析】本题主要考查三角形的三边关系,问题以测量池塘岸边A,B两点间的距离为背景,但尚未做出精确的测量,仅仅测量过程中的一部分数据进行合理猜想,利用“三角形中两边之和大于第三边”排除了D选项的可能性。本题没有得到一个明确的测量结果,似乎一些老师会觉得不甘心,似乎这与传统几何测量结果的确定性有所背离。诚然如此,问题还有很多剩余的工作可以让学生有更大的思考的空间,但测量过程中不停的思考数据的合理性,通过测量的中间数据预测测量结果,适时的调整测量方案,这与行动研究的基本思想方法是一致的.

9-1
9(贵州·黔东南卷)如图9-1,某村有一块三角形的空地(即△ABC),其中A点处靠近水源,现村长准备将它分给甲、乙两农户耕种,分配方案规定,按每户人口数量来平均分配,且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源(即A点),已知甲农户有1人,乙农户有3人,请你把它分出来。(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,不要求证明)学科网

9-2
简答:如图9-2所示作出BC边上的四等分点,连结点A与BC上靠近端点的四分点所得的线段即所求的分割线.

【评析】本题情景来源于生活,问题的解决并不复杂,所应用的数学原理突出,问题原形为过三角形一个顶点画线将三角形的面积四等分,考查学生的三角形的面积求解能力,在作图上是要求学生对一条已知线段尺规四等分,问题可以转化为线段的二次二等分.本题引导学生将现实生活问题重建为几何图形问题,将偶次等分点转化为二等分点作图,很好地考查了学生的数学转化能力.
 
(六)利用分类思想构造方案讨论问题,考查学生全面分析能力
例10黑龙江·牡丹江卷)有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.
简答:在中,由勾股定理有:,扩充部分为扩充成等腰可分以下三种情况:
①如图①,当时,可求得的周长为32m.
②如图②,当时,可求由勾股定理得:得的周长为

A
D
C
B
A
D
B
C
A
D
B
C
10
③如图③,当为底时,设则由勾股定理得:得的周长为

 
 
 
 
 
 
 
 
【评析】本题通过“扩地”这一现实中任务性问题,考查学生的数学建模能力及数学思维的全面性,及分类讨论思想与方程思想的运用能力。问题巧妙地把等腰三角形与直角三角形相关知识点结合在一起,三种分类又是层次各为不同,情况①只需等腰三角形性质即可求解,情况②需简单运用勾股定理加以解决,而情况③需要学生利用勾股定理构造方程求解,通过三个不同情况的分类,将学生的问题解决能力有效地分成三个层次,本题具有较高的区分度。
(七)利用全等不变量设置问题串,考查学生探究归纳能力

A
E
E
A
C
C
D
D
B
B
A
A
备用图
B
C
B
C
备用图
11
例11辽宁·本溪卷)中,,点是直线上一点(不与重合),以为一边在右侧,使,连接

1)如图①,当点在线段上,如果,则        度;
2)设
①如图②,当点在线段上移动,则之间有怎样的数量关系?请说明理由;
②当点在直线上移动,则之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.
 
简答:(1).
(2)①.由已知易得,进一步得 ,所以,又∵,
∴.
②当点在射线上时,;当点在射线的反向延长线上时,.
【评析】本题以全等三角形为载体构造了一系列问题串,通过从特殊到一般的概括归纳过程,引导学生观察、实验、猜想、验证解决问题,既考查学生合情推理能力,又考查学生的演绎推理能力。试题较好地将数学评价的过程与数学学习的过程有机结合起来,从问题(1)中的特殊情形,引导学生进入问题(2)的①的更一般的情形,又由问题(2)的①引导学生进行问题(2)的②的一般情形的分类讨论,问题层层铺垫。同时提供备用图,既给学生动手探究的空间,又降低了试题的难度。这样的考题,既可考查学生的学习能力,又可以让学生经历一次新的探究学习过程,对于考生与命题者都是双赢的。
(八)依托动点运动渗透数形结合,考查类比分析能力
例12内蒙古·包头卷)如图,已知中,厘米,厘米,点的中点.
1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.

A
Q
C
D
B
P
12
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,是否全等,请说明理由;

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使全等?
2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇?
简答:(1)①通过计算可得.又,易得.
②∵, ∴,
又∵,,则,
∴点,点运动的时间秒,∴厘米/秒.
(2)设经过秒后点与点第一次相遇,由题意,得,
解得秒.∴点共运动了厘米.∵,∴点、点 在边上相遇,∴经过秒点与点 第一次在边上相遇。
【评析】本题在一个固定的等腰三角形中引入两个动点构建两个三角形,问题(1)以特定时间下的等速动的特殊位置引导学生利用数值计算判定两三角形的全等关系,在问题(1)②讨论非等速状态下的动点可能产生的三角形的全等的条件,学生需利用三角形全等性质逆推演算,这两个问题以全等三角形为纽带,很好地考查了学生的思维的双向流动性。问题(2)巧妙地将行程问题与三角形的边的关系相结合,追及问题的情境此时在学生脑中熟悉而不雷同,等量关系自然有迹可循,其中各线段可以含有运动时间的代数式表示,方程水到渠成,其分析过程虽自然,但需较高的综合分析能力。本题略显不足的是问题(1)②的计算结果与问题(2)解决关联度较大,学生可能就会一步踏错,全盘皆输。
四、2010年中考展望及复习建议
近几年来,本专题由于其基础性与重要性,在中考占有较大比例,一方面主要考查三角形的基本性质,如同一三角形中边与边关系,角之间关系,边与角之间关系,另一重点内容为两个三角形之间的全等关系。对于相应的演绎推理能力的考查,主要突出基础性的考查,单纯的演绎推理问题难度不高,位置前移,且数量不多。合情推理有所增加,引导学生从变之中感受不变的关系,通过一些问题串,形成猜想,验证猜想,考查学生观察、猜想、验证、概括归纳等能力。同时,由于三角形是其它几何图形问题解决的基础工具,也是其它图形问题解决的化归流向。三角形常常与其它数学问题相结合设计成综合问题,在各种题型中都有出现,难易程度也各不同,而且常有创新。因此,在复习时,要注意忌盲从,忌泛化,忌技巧,忌蛮练。
1.注重基本知识与技能训练,夯实解题基础
09的中考试题不难发现,由于三角形这一模块其基础性的特点,中考试题始终会关注三角形基本知识与技能的考核,如三角形的内角和,三角形的全等,勾股定理等等的有关问题,在中考必然会有其一席之地,因此中考复习时一定要重视这些基本而重点的知识与技能的训练。

A
C
B
D
F
E
 
13
1江苏卷如图,给出下列四组条件:

其中,能使的条件共有(   
A1              B2              C3              D4
【说明】本题考查的内容为三角形全等的条件,要正确求解本题,只需要学生对全等三角形的判定方法熟练掌握,如①为SSS,②为SAS,③为ASA,④为SSA,显然SSA不是三角形全等的条件,本题的考核内容单一简洁,能有效考查学生对三角形全等判定方法全面掌握情况。
简答:选C.
复习建议:复习时,要加强基本知识与技能的训练,对三角形的基本性质要熟练掌握。进行针对性练习时所采用的资料一定要先经过教师的深入思考,避免出现偏、难、繁题型的练习,要把握好练习的数量,控制好练习的难度。另外对于一些基本性质,必要时要理解记忆,因为记忆是掌握应用的前提。

A
C
D
B
图14
2湖南·长沙卷)如图,等腰中,是底边上的高,若,则        cm

【说明】本题考查的内容为等腰三角形的三线合一与勾股定理的应用计算,要正确解答本题,只需先求直角三角形ABD中BD边的长度,而由已知可知AD既是BC边上高,又是BC边上的中线,BD的长度即可得,AD的长度也自然而来。
复习建议:复习时,双基的训练时,要突出对重点知识的掌握落实,如本题中的等腰三角形的性质,直角三角形的勾股定理等等,同时要关注这些基本知识之间的相互联系,它们不是孤立存在的,往往这些联系点,是也命题的考查点所在,也是学生在数学复习时要建构知识框架的必要性所在,知识框架的建构不能与问题解决相脱离,知识框架的建立应当为问题解决过程中知识的应用提供联结线索。
2.注重基本图形重组变化,提高识图能力
近年在三角形这一内容上的中考命题创新迭出,尤其在试题的图形上,逐渐避免了试题图形的陈旧化。命题者往往将一些基本图形通过重新组合,为试题创出更多更美的几何图形,在避免几何图形图形单一呈现的同时,还能有效考查学生对基本图形的识别能力,图形的变式成为中考考查学生几何图形认识能力的一种重要手段。因此如何能在复杂或陌生的几何图形背景下,寻找出蕴含的基本图形,快速定位问题解决的突破口也是中考复习值得关注的一点。

15
B
D
C
F
A 郜
E
例3(吉林卷如图,,请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.

【说明】本题考查等腰三角形的性质与全等三角形的判定,本题图形为所含有的基本图形叠合而成,在边与边,角与角之关存在大量的等量关系,充分利用这些等量关系,就可以判定两三角形是否全等。
简答:(1)或或或或(写出其中的三对即可).
(2)以为例证明.在Rt和Rt中,
 Rt≌Rt .
复习建议:复习时,应当多引导学生在复杂图形根据已知条件寻找基本图形,这些基本图形往往是解题的基本单元,把每一个单元所能得到信息串联起来,整个解题思路自然就清晰了。在复习时,应注重对基本图形的归结与整理,掌握了基本图形也就找到了解决相应的复杂问题的方法。
4广东·梅州卷)如图,已知线段,分别以为圆心,大于长为半径画弧,两弧相交于点CQ,连结CQAB相交于点D,连结ACBC.那么:

C
B
D
A
16
Q
1)∠________度;

2)当线段时, ______度,的面积等于_________(面积单位).
【说明】本题的已知条件以作法描述的形式展现,以考查学生对作图作法语言的理解力,根据作法判定三角形的形状。本题蕴含的两个基本图形是两个特殊三角形的性质,问题(1)考查等腰三角形的三线合一,问题(2)在(1)的基础上添加条件得到等边三角形,由高分成两个含30°的直角三角形,进而考查勾股定理的应用。本题的解决与学生能否辨别特殊三角形相关极大。
简答:(1)90;(2)30, .
复习建议:等腰三角形常常被底边上的高或中线或顶角平分线分割成两个直角三角形,如果等腰三角形在含有一些特殊角,那么分割后的直角三角形也往往是含特殊角的直角三角形,其边与边往往有特殊的比例关系,为一些相关的计算提供必要的条件。在复习时,应当帮助学生对特殊三角形分类,归纳总结其边边关系,边角关系,以及所含高、中线、角平分线等等三角形基本元素之间的联系,形成更深的认识。
3.注重知识框架建构,明晰知识脉络
数学学习提倡关注学生的学习过程,数学学习要了解知识的发生发展过程,同时数学知识有较强的相关性与连续性,通过梳理建构数学知识框架可以了解数学知识演进发展。近年来,在中考的命题上对这方面也逐渐有所体现,一些学生学习数学只片面关注知识的应用而忽略的数学知识其形成的过程性理解而造成的盲点或学习过程可能存在错误认识都将成为命题的素材,因此在中考数学复习时要关注知识框架的整体构建,明晰知识脉络,了解一个数学知识的来笼去脉,要知其所以然,除此之外,在这个知识框架中还要关注学生常见的错误易发点。

5黑龙江·牡丹江卷

17
O
D
P
C
A
B
尺规作图作的平分线方法如下:以为圆心,任意长为半径画弧交、于、,再分别以点、为圆心,以大于长为半径画弧,两弧交于点,作射线由作法得的根据是(   

A.SAS B.ASA   C.AAS  D.SSS
【说明】本题容易出错,原因在于学生在已有经验上已明确这是角平分线的尺规作图的方法,错将OP平分作为三角形全等的条件,将角平分线的作法前置于三角形全等。事实上,OP是平分线只是三角形全等衍生的性质,OP是平分线的根源在全等,而全等根源在尺规作图时构造的条件。本题在考查三角形全等的条件的同时,也考查了学生对知识的脉络。
复习建议:从本例中,可以看到,知识产生先后顺序值得学生关注,很多时候老师也在茫然,知识框架的建立,到底有什么作用,本例就可以说明。另很多老师在角平分线的作法的教学上较为到位,但对作图的本质或者说是依据(全等)却不太了解。在教学过程,应当注意一些问题的溯源式的挖掘,多问些“为什么”,学生会对数学问题本原有更深的理解。

例6(上海卷

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O
D
C
A
B
E
F
已知线段与相交于点,联结,为的中点,为的中点,联结(如图所示).

(1)添加条件,,
求证:.
(2)分别将“”记为①,“”记为②,“”记为③,添加条件①、③,以②为结论构成命题1,添加条件②、③,以①为结论构成命题2.命题1是        命题,命题2是          命题(选择“真”或“假”填入空格).
【说明】本题问题(1)考查三角形全等的条件,问题(2)考查三角形相关内容的逆命题,涉及知识有等腰三角形的判定,全等三角形判定等等,解题的关键是注意到SSA不是两三角形全等的条件。
简答:(1)由已知条件得:2OE=2OC ,OB=OC .又 ,AOB=∠DOC,所以△ABO≌△DOC,所以 .(2)真,假.
复习建议:在复习过程中,要注意一些常见易错问题的归纳总结,如三角形的全等判定常有学生错用“SSA”判定,类似的错误还有很多,应当引导学生在建立知识框架的同时提醒学生归纳总结。知识框架的建立是为了更好清晰知识结构,除此之外,知识框架在整理时,应当把相关的易错点,相关思想方法也要纳入框架。如此,知识框架才会更为完整、丰富、有用。
4.注重核心数学思考,突显问题本质

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三角形中相关运动类问题依然会是数学中考的一个热点,通过图形运动探索发现数学规律,经历从特殊到一般的研究过程,考查学生数学基本活动经验,考查学生利用相对“静态”的数学知识去分析简单动态数学现象能力,能够较好地考查学生的综合思考水平。因此在中考复习时要关注三角形的动态问题,要注重数学思维的培养,引导学生如何从变化中寻找不变,捕捉动态问题的本质。

7广东卷)(1)如图①,圆内接△ABC中,AB=BC=CA,OD、OE为⊙O的半径,OD⊥BC于点F,OE⊥AC于点G,求证:阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的.
2)如图②,若∠DOE保持120°角度不变,求证:当∠DOE绕着O点旋转时,由两条半径和△ABC的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是△ABC的面积的.
【说明】本题问题(1)为问题(2)的特殊情况,问题设计从特殊到一般,从静态自然过渡到动态,以静态为铺垫,以动态为探究,过渡自然,考查学生从运动中寻找不变量——全等三角形。问题(2)可以连结OA,OC构造两个全等三角形,将阴影面积转化为△AOC的面积,也可以通过做垂线转化为图①来解决。
简答:(1)提示:连结OA,OC,可证△OFC≌△OGA,从而可知S阴影部分四边形OFCG=SAOC=SABC.(2) 说明过程可以同(1).
复习建议:中考问题中,像本类运动后保持某种量不变的问题在动态问题中常常出现,复习时要指导学生如何从运动中寻找不变的关系的常用方法,如将图形运动几种特殊情况,观察问题中哪些变了,哪些始终不变的,然后从不变的人入手,发现问题的本质所在。另外可以通过相同问题的背景图形,通过变式,变图培养学生的发现能力,如本题的可以将正三角形换成正方形或正五边形等问题,让学生感受真正的本质在于三角形全等关系的不变。

A
B
C
Q
R
M
 
D
20
8广西·桂林卷)如图,正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果Q点从A点出发,沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止,同时点RB点出发,沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止,在这个过程中,线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为(     ).

A2    B     C    D
【说明】本题的图形背景是正方形,但本质是考查直角三角形斜边上的中线等边的一半这一性质,问题中在运行变化的是QR位置,而不变量是中点M到直角顶点的距离,所以只要寻找出Q,R在运动时,点M的位置变化路线所形成的图形——M点的运动轨迹即可,从M点到顶角的距离不变可以知M的轨迹为四个四分之一的弧长。因此本题的面积为正方形面积与以QR的一半为半径的圆的面积的差。
简答:选B.
复习建议:在运动问题中,要从复杂的运动图形中寻找出问题中核心考查内容,如本题的核心在于发现直角三角形的斜边的性质在解决本题的作用,线段两端点的运动变化引发中点的位置的变化,而其中不变的量是中点到顶点的距离。类似的问题如同弧所对的圆周角的顶点的运动,第三边固定的三角形中位线的变化等等,在教学过程,编拟类似问题,可以培养学生发现问题本质的能力。另外,在教学过程中,要注意三角形问题与其它基本图形相结合设置问题,三角形往往是四边形,圆等问题的解决转化的方向。

21
5注重通性通法提炼,突出思想方法渗透

数学的学习不能只是解题技巧的训练,解题方法不是玩魔术,玩特技,一旦遇到新问题,特技就失效,面对新题学生就无从下手。近年来,中考数学试题一改过去繁、难、偏现象,更注重通性通法的考查,同时初中常见的一些数学思想方法在三角形这一模块的命题上备受重视,因此在中考复习时要关注数学思想方法渗透。
9广东·深圳卷)如图,在RtABC中,C=90º,点DBC上一点,AD=BDAB=8BD=5,则CD=____    _.
【说明】本题构图简单,但问题不一般,图中有两个直角三角形与一个等腰三角形,但直接用勾股计算边长或从等腰三角形分成两个直角三角形求边长都不能直达结果。本题考查方程思想的应用,可以考虑设CD为未知数,以AC2=AC2为等量关系构造方程,也可考虑从S△ABD=S△ABD利用等积构造方程求高AC。
简答: .
复习建议:方程思想是初中数学中主要思想之一,在三角形问题常常利用勾股定理或等积构造方程,在直角三角形的问题中有较广的应用。在复习过程中,要减少需要一些特殊辅助线或特殊技巧性的题练,要突出通性通法,在思想方法层面提高学生的问题解决能力,要避免解题成记题,背题。

A
B
C
图22
D
E
A′
例10(河北卷如图,等边ABC的边长为1 cmDE分别是ABAC上的点,ADE沿直线DE折叠,点A落在点 处,且点ABC外部,则阴影部分图形的周长        cm

【说明】表面看,本题是对基本几何图形的周长的考查,但通过对解题策略的分析,却不难发现,其关注的核心实际是数学的思想方法,即利用轴对称实现对问题的转化(化归).阴影部分图形的周长可以转化为三角形的周长(注:图形变换是几何问题转化的常用方法,另有专题详述)
简答:3.
复习建议:转化思想也是初中数学中几个常用的思想方法之一,将未知问题转化已知问题解决,将复杂问题转化简单问题解决,将不规则图形转化为规则图形,将四边形问题转化为三角形问题等等。在平时的复习中教师要有意识地渗透各种数学思想,逐步培养学生形成这些基本的思想方法,那么在中考中学生自然就能灵活运用这些思想方法了。
总之,如喻汉林老师所言“能力需要基础,成功需要方法”,中考复习要做到落实基础,在第一轮的复习当中,要关注基础知识的全面掌握,熟悉知识脉络,建构知识框架,并适合加以练习巩固,练习训练要精选精练,要注重方法,不可以片面关注解题技巧,要注重通法,以不变应万变。第二轮专项复习要重点突出,适当将三角形与其它内容相结合,突破学生解题的难点,如一些与动点结合的三角形问题中引导学生如何从动中寻静,发现变中所蕴藏的不变量;在与函数结合的三角形问题中,要引导学生如何利用三角形的性质将相关未知量关系寻找出来,并选择一个合适未知量将其余的量表示出来等等。第三轮模拟考后要更多地引导学生反思总结,突破思维死角,进一步提高问题解决能力,从而在中考发挥出更高的水平。
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评论列表

徐爱林 于 2015-10-12 10:44:06 评论道:
邵小飞 于 2015-09-28 14:20:17 评论道:
很好.
章明 于 2015-06-09 13:38:18 评论道:
分析透彻,高
周平孝 于 2015-02-07 17:48:01 评论道:
很好 很有水平
宋晓华 于 2015-01-29 14:30:46 评论道:
好。剖析透彻。
梁艺 于 2014-11-30 16:35:59 评论道:

写的好

 

柯星星 于 2014-11-25 08:50:52 评论道:
很好
傅伟良 于 2014-11-18 13:39:40 评论道:
写得非常地好,很有帮助
叶成兵 于 2014-11-18 13:06:47 评论道:
写得非常地好,很有水平
朱东聪 于 2012-04-05 12:41:39 评论道:
怎么没人来看地
朱东聪 于 2012-04-01 09:00:32 评论道:
很有帮助
朱东聪 于 2012-03-31 16:11:48 评论道:
很好
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