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一道中考题的解法[原创]

发布时间: 2011-03-05 19:03:24   作者:叶茂恒   发表者: 叶茂恒     浏览次数:(1809)   评论次数:(18)    

一道中考题的解法

温州第十七中学  叶茂恒

2009年湖州市学业考试第12题如下:

1

已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点,请你在图中任意画一条抛物线,问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个?(   

A6        B7        C8        D9

这个问题是在2008年湖州数学中考卷附加题(第25题)的基础上进一步深化改编的.原题如下:

对于二次函数 ,如果当 取任意整数时,函数值 都是整数,那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如: ).

1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式         .(不必证明)

2)请探索:是否存在二次项系数的绝对值小于 的整点抛物线?若存在,请写出其中一条抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.

在网格中寻找格点抛物线问题实质上是就是在网格中找出整点抛物线,这里可以通过尝试整点数的方法寻找出经过最多格点的抛物线从而实现解决第12题,但这样的解决方法有一定的盲目性,成功率不高.这一点可以从湖州市2009中考自评报告中的数据得到验证.报告显示本题的难度值为0.28,从统计学角度来看,真正这道题解出来的应是微乎其微了.同时湖州数学试卷分析报告还针对本题作了自评,摘录部分如下:“本题是在我市08年中考第25题(自选题)的基础上作了进一步拓展和变式,其特点是应用运动变化的观点研究二次函数图象的性质,通过多次尝试后进行比较而得到结论。突出体现了自主探究的能力.此外本题是没有固定的解题方法和特殊的解题技巧,学生可以利用抛物线图象的对称性质及结合整点问题.从这一段话可以看出,命题者认为本题没有固定的解法,唯能利用的是抛物线的对称性与尝试法.事实真的如此吗?

为了解决这个问题,先看一个引理: 取正整数)是二次函数 图象上的点,若有 ,且设 ,则有 .

证明如下:

2

特别地, 时, .即当横坐标每增加1单位时,纵坐标增量的增加|2a|,在网格中|2a|的最小值为1个单位,此时 .为了叙述方便取 进行分析, 只需类似分析即可.9×9网格上建立直角坐标系(如右图2所示),则经过最多格点的抛物线(考虑到抛物线为轴对称图形,故先取左边一半研究)上格点的纵坐标如下表所示:

格点

第一个

第二个

第三个

第四个

第五个

n

最小二阶增量(|2a|

 

 

1

1

1

1

最小一阶增量

 

1

2

3

4

n-1

纵坐标

0

1

3

6

10

3

4

5-2

5-1

5-3

显然,在9×9的网格中,抛物线对称轴的一侧纵坐标不能超过9,因此对称轴一侧的抛物线最多只能经过4个格点,如图3所示,这四个格点占了4×9的格点,则另一半可如图4所示,左右两半各占四个水平单位,将两半在9×9的网格中合成,出现三种可能(如图5-15-25-3所示),其中图5-25-3经过8个格点,接下来我们来求经过这8个点的抛物线解析式.

情形1,如图5-2,以网格的下底边所在直线为横轴,以其中垂线为纵轴,取小正方形的边长为1,建立平面直角坐标系,则可设解析式为 ,其中 ,故解析式为 ,经验证,其余6个都在这条抛物线上,因此在图中画一条抛物线最多可以经过8个点;

情形2,如图5-3,以网格的下底边所在直线为横轴,以其中从左往右数第5条纵线所在直线为纵轴,取小正方形的边长为1,建立平面直角坐标系,则可设解析式为 ,其中 ,故解析式为 ,经检验其余6个格点不在此抛物线上,因此此种情况不符合题意,舍去.

综上可知,湖州市2009数学中考卷12题选C.

思考1:若建立直角坐标系时不以水平线或纵直线为横轴与纵标,有没有可能经过更多个格点呢?

6

不妨如图6建立平面直角坐标系,是否存在一条抛物线所经过的格超过图5-2的情况呢?分析可知,当|2a|= 时,都出现点不落在格点的情况,且当|2a| 格点个数也不可能超过8.故不存在经过超过8个格点的抛物线.

思考2:此题需要什么样的数学准备知识?能否适合中考中出现?

事实上,不难发现,引理是与导数有关的,对于 ,即引理中所指的二阶增量实为二次函数的二阶导数,本问题在解决时,不仅要了解二阶导数的存在,而且还需知道其存在的意义,再加上格点问题主要涉及几何组合数学知识,显然在考查知识上超越了大部分学生的数学知识,从考试结果的难度值来看,此题应当避免在中考试题中出现,初中生不可能在考试这么短时间内完成这么复杂的探究,对考生心理会造成不良影响.

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评论列表

楼皓 于 2018-05-28 16:23:12 评论道:
学习了
秦邦胜 于 2015-11-05 12:36:27 评论道:
建议上传完整的资料
秦邦胜 于 2015-11-05 12:35:18 评论道:
徐爱林 于 2015-10-12 10:44:21 评论道:
邵小飞 于 2015-09-28 14:21:13 评论道:
没图,怎么难啊......
章明 于 2015-06-09 13:38:43 评论道:
????
徐旭华 于 2015-04-29 10:12:18 评论道:
周平孝 于 2015-02-07 17:48:47 评论道:
图呢?
宋晓华 于 2015-01-29 14:32:45 评论道:
看不见图,很难有的放失。
李晓晖 于 2015-01-22 10:33:44 评论道:
邵军舰 于 2014-12-04 10:17:47 评论道:
怎么还买有图
梁艺 于 2014-11-30 16:36:38 评论道:

看不到图

张明永 于 2014-11-07 05:57:54 评论道:
查看附件就完整了
付杰明 于 2014-10-30 09:10:56 评论道:
建议网站能方便发图,这样效果更好
周晶晶 于 2014-10-17 10:00:34 评论道:

不完整,所以不能理解

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